\chapter{Fenomeni Ondulatori}

\section{Derivazione dell'equazione di d'Alambert}
La pressione \`e data
\begin{equation}
P(\vec{r}, t) = P_c + \Delta P(\vec{r}, t)
\end{equation}

Prendiamo la coordinata $\xi(\vec{r}, t)$ \`e soggeta alle equazioni
delle forze e mi aspetto che rispetti le equazioni di newton.

Cerco la derivata seconda della coordinata spaziale $\xi$ sar\`a una
funzione legata alla forza dipendente da $\xi$ stesso e dalle
derivate/gradiente successive
\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = F(\xi, \vec{\nabla}\xi, \nabla^2 \xi, \ldots)
\end{equation}

la funzione non deve dipendere da $\xi$ ma solo dalle sue derivate
perc\'e se spostiamo il punto di riferimento non vogliamo che l'onda
cambi (l'equazione cambi). Ci\`o comporta
\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = F(\xi, \vec{\nabla}\xi, \nabla^2 \xi, \ldots) =
  = F(\xi + \xi_0, \vec{\nabla}\xi, \nabla^2 \xi, \ldots)
\end{equation}
cio\`e
\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = F(\vec{\nabla}\xi, \nabla^2 \xi, \ldots)
\end{equation}

Introduco un'approsimazione. Scelgo un riferimento tale che
$\xi_{riposo}=0$ sia ad altezza zero e considero perturbazioni tali che
$\xi \approx 0$, non perturbino troppo lo stato di equilibrio.  Se $\xi$
\`e piccola anche le sue derivate saranno abbastanza piccole. In questa
situazione posso sviluppare in serie di Mc-Laurin

\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = F(0,0,\ldots) + \vec{b} \cdot \vec{\nabla} \xi
 + v^2 \nabla^2 \xi + \ldots
\end{equation}

Se metto la condizione di riposo $\xi =0$ cos\`i tutte le sue derivate e
si ricava che
\begin{equation}
F(0,0,\ldots)=0
\end{equation}

mi aspetto che l'equazione $\vec{b} \cdot \vec{\nabla} \xi$ non
esita. Allora risulta che
\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = v^2 \nabla^2 \xi(\vec{r}, t)
\end{equation}
e viene detta \emph{Equazione di D'Alembert}

e ricritta si ha l'\emph{Equazione d'Onda}
\begin{equation}
\ddot{\xi}(\vec{r}, t) = v^2 \, \xi''(\vec{r}, t)
\end{equation}

Dimostrazione perch\'e viene detta equazione d'onda
\begin{equation}
x_1 = x + v \, t
\end{equation}

\begin{equation}
x_2 = x - v \, t
\end{equation}

\begin{equation}
x = \frac{x_1 + x_2}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
t = \frac{x_1 + x_2}{2 v}
\end{equation}

\begin{equation}
\xi  (x,t) = f (x_1,x_2)
\end{equation}

\begin{equation}
\dot{\xi} = v (f_1' - f_2')
\end{equation}

\begin{equation}
\ddot{\xi} = v^2 \left[ f_{11}'' + f_{22}'' - 2 f_{12}''\right]
\end{equation}

\begin{equation}
v^2 \xi'' = v^2 \left[ f_{11}'' + f_{22}'' - 2 f_{12}'' \right]
\end{equation}

\begin{equation}
f_{12}'' = \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 , \partial x_2} = 0
\end{equation}

qualcosa manca

Ho scoperto che l'equazione d'onda \`e soddisfatta dall'equazione
\begin{equation}
\xi (x,t) = \hat{f}(x + v \, t) + \hat{g}(x - v \, t)
\end{equation}

supponiamo che la $\hat{g}$ sia una funzione fatta

GRAFICO DI $\hat{g}$


\section{Apptunti 4 giugno}

avevamo ottenuto
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}
\end{equation}
equazione del moto.

Consideriamo una corda discreta
{\bf GRAFICO di una corda discreta che sta vibrando,} la si discretizza
in pezzetti di lunghezza fissata $a$ e al punto i-esimo si \`e alla
distanza $i \, a$.
\begin{equation}
\rho_l \, a = d \, m
\end{equation}
dove $\rho_l$ \`e la densit\`a lineare della corda, non \`e detto che
sia costante, anzi.

L'energia potenziale della corda: prima la pensiamo nel continuo poi nel
discreto.
Consideriamo una corda a riposo (non tirata) \\
$l_0 =$ lunghezza a riposo \\
$l =$ lunghezza della corda tirata\\
Qual'\`e un esperssione ragionevole dell'energia potenziale della corda
tirata?
\begin{equation}
V = T (l-l_0)
\end{equation}
con $T$ la tensione della corda tirata.

nel caso continuo $a = dx$
i pezzi sono infinitesimi
\begin{equation}
=> V = T \sum_{i=1}^N \sqrt{a^2 + (\xi_i - \xi_{i-1})^2} - T \, l_0= 
T \sum_i{a \left( 1 + \frac{(\xi_i - \xi{i-1})^2}{a^2}
	 \right)^{\frac{1}{2}}} - T \, l_0
\end{equation}
e si vede che $N \, a = l_0$ e sir semplifica che
\begin{equation}
\frac{T}{2} \sum_{i=1}^N a \frac{(\xi_i - \xi{i-1})^2}{a^2}
\end{equation}
e risulta che
\begin{equation}
V = \frac{T}{2 a} \sum_{i=1}^N (\xi_i - \xi{i-1})^2
\end{equation}

Da Newton
\begin{equation}
d \, m \, \ddot{\xi}_i = - \frac{\partial V}{\partial \xi_i} = 
\end{equation}
inserendo la formula del potenziale
\begin{equation}
a \, \rho_l \, \ddot{\xi}_i => - \frac{T}{a} \left[\xi_i - \xi_{i-1} +
					      \xi_i - \xi_{i+1} \right]
= \frac{T}{a} \left[\xi_{i+1} + \xi_{i-1} + \xi_i - 2 \xi_i \right]
\end{equation}

e adesso andiamo nel caso in cui la corda diventi continua
\begin{equation}
\frac{a \, \rho_l}{2} \ddot{\xi}_N = - \frac{\partial v}{\partial \xi_N}
 = - \frac{T}{a} (\xi_N - \xi_{N-1})
\end{equation}

espandendo $\xi_i = \xi(ia,t)$
\begin{equation}
\xi{i\pm1} = \xi(ia\pm a,t) = \xi(ia,t) \pm a \xi'(ia,t) + \frac{1}{2}a^2
 \xi''(ia,t) \pm \frac{a^3}{3!} \xi'''(ia,t)
\end{equation}
 e anche $x = ia$
\begin{equation}
\rho_l a \ddot{\xi}(x , t) = \frac{T}{a} a^2 \xi''(x,t) + \Theta(a^4)
\end{equation}
e si ha
\begin{equation}
\ddot{xi} = \frac{T}{\rho_l} \xi''
\end{equation}
e
\begin{equation}
v^2 = \frac{T}{\rho_l}
\end{equation}

Nell'ultimo punto della corda
\begin{equation}
- \frac{T}{a} \left[ \xi(l_0,t) -(\xi(l_0,t) - a \xi'(l_0,t) +
	       \frac{a^2}{2} \xi'' (l_0,t) + \ldots) \right]
\end{equation}
e inserendolo nell'equazione precendente
\begin{equation}
\frac{\rho_l}{2} \ddot{\xi}(l_0,t) = T \left[ -\frac{\xi'(l_0,t)}{a} +
\frac{1}{2} \xi''(l_0,t) + \Theta(a)  \right]
\end{equation}


La condizione al contorno con l'estremo fisso
{grafa delle tre righe}
\begin{equation}
\xi(0,t) = 0 \\
\xi(l_0,t) = 0
\end{equation}
\} che implica due estremi fissi
\begin{equation}
\xi'(l_0,t)=0
\end{equation}
{fine grafa}
la derivata (perche?) deve essere nulla implica che
\begin{equation}
=> \rho_l \ddot{\xi}(l_0,t) = T \left[\xi''(l_0,t) + \Theta(a)  \right]
\end{equation}

che cos'\`e questa veloicit\`a v?
che cos'\`e che vibra?


L'energia cinetica vale nel caso della corda discreta
\begin{equation}
E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N-1} (\rho_l \, a) \dot{\xi}_i^2 + \frac{T}{2 \,
 a} \sum_{i=1}^{N-1} (\xi_i - \xi_{i-1})^2
\end{equation}
dove
\begin{equation}
\dot{\xi}_i = \frac{\partial \xi}{\partial t}
\end{equation}
quindi
\begin{equation}
=> \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N-1} (\rho_l \, a) \left(\frac{\partial
 \xi}{\partial t}\right)^2 + \frac{T}{2 \,
 a} \sum_{i=1}^{N-1} (\xi_i - \xi_{i-1})^2=
\frac{1}{2} \rho_l \int_0^{l_0} dx \left( \frac{\partial \xi}{\partial
 t} \right)^2  + \frac{T}{2} \int_0^{l_0} dx \left( \frac{\partial
 \xi}{\partial x} \right)^2
\end{equation}
non so perch\`e, perso........

e introduciamo la densit\`a di energia
\begin{equation}
u(x,t) = \frac{\rho_l}{2} \left( \frac{\partial \xi}{\partial t}
 \right)^2 + \frac{T}{2} \left( \frac{\partial
 \xi}{\partial x} \right)^2
\end{equation}

e l'energia diventa
\begin{equation}
E = \int_0^{l_0} dx \, u(x,t)
\end{equation}
e allora fino al punto generico $l_1$ l'energia vale
\begin{equation}
E = \int_0^{l_1} dx \, u(x,t) = \int_0^{l_1} dx \left[
\frac{\rho_l \dot{xi}^2}{2} + \frac{T}{2} \xi'^2
 \right]
\end{equation}
e la derivate parziale
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t} E(l,t) = \int_0^{l_1} dx \left[ 
\rho_l \dot{xi} \ddot{\xi} + T \xi' \dot{\xi}'
\right]= 
\int_0^{l_1} dx \dot{\xi} \left[
\rho_l \ddot{\xi} - T \xi''
\right] + T \xi' \dot{\xi} \biggr|_0^{l_1}
\end{equation}
la derivata temporale vale
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t} E(l,t) = T \xi' \dot{\xi}
\biggr|_0^{l_1}
\end{equation}
e vedento che $\xi(0,t) = 0 \quad \forall t \Rightarrow \dot{\xi}=0$ e
si ha
\begin{equation}
-> \frac{\partial}{\partial t} E(l,t) = T \xi'(l_1,t) \dot{\xi}(l_1,t)
\end{equation}
Se l'estremo \`e fisso,$l_1 = l_0$ implica$\xi(l_0,t) = 0 \quad \forall t$
e se mobile$\xi'(l_0,t)=0 \quad \forall t$

si ha che l'energia $E(l_0,t)$ si conserva


Se vado a considerare la derivata demporale al tempo di
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t} \int_\tau u(\vec{r},t) \, d^3\!x
= - \oint_\Sigma \vec{J} \cot \hat{n} \, d\Sigma
\end{equation}
per il teorema della divergenza
\begin{equation}
=> - \int_\tau \vec{\nabla} \cdot \vec{J} \, d^3\!r
\end{equation}
e si ricava il teorema della continuit\`a
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot \vec{J}
\end{equation}


Tornando al nostro caso, noi ci troviamo in due dimensioni, cio\'e si
ricava
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial t} \int_0^{l_1} dx u(x,t) &= - \int_0^{l_1}
 \frac{\partial}{\partial x} J\\
\frac{\partial}{\partial t} E(l,t) &= - J|_{l_1} + J|_{l_0}
\end{split}
\end{equation}

e il flusso di energia nell'unit\`a di tempo
\begin{equation}
\vec{J} = - T \xi'(l,t) \dot{\xi}(l,t) \hat{x}
= - \vec{v}^2 \rho_l \xi'(l,t) \dot{\xi}(l,t) \hat{x}
\end{equation}

%***************************************
Adesso prendiamo una sbarra, invece che una corda

{\bf DISEGNO}

Supponiamo che la sbarra fosse formata da una serie di pallini e di
molle attaccate assieme.
$S$ \`e la sezione e $\rho_S$ \`e la densit\`a molle/catena.

Ogni molla ha una compressione/dilatazione
\begin{equation}
V = \frac{K}{2} \sum_{i=1}^N (x_i - x_{i-1} -a)^2
\end{equation}
dove $x_i - x_{i-1}=a$ distanza a riposo, sopra \`e tirata
{\bf forse riscritta meglio $x_{0 \, i} - x_{0\, i-1} =a$ NO? zero
iniziale}

quando tiro e lascio che si equilibri, per $i<N$
\begin{equation}
\frac{\partial V}{\partial x_i} =0
\end{equation}

\begin{equation}
 N - \frac{\partial V}{\partial x_N} + \vec{F} =0
\end{equation}
dove
\begin{equation}
F = k (x_N - x_{N-1} -a)
\end{equation}

\begin{equation}
\{
k(2 x_1 - x_2) = 0 \quad i=1\\
k(2 x_i - x_{i-1} - x_{i+1}) = 0 \quad 1<i<N\\
\end{equation}

non ho capito la conclusione
\begin{equation}
F = 0 \quad , \quad x_i  = i \, a
\end{equation}

La lunghezza a riposo risulta
\begin{equation}
l' = x_N = N \, x_1 = N \, a + \frac{N \, F}{k}
\end{equation}
mah
\begin{equation}
l' - l = \frac{N \, F}{k} = \frac{l \, F}{k \, a}
\end{equation}

per ottenere lo stesso allungamento devo applicare il doppio della forza
\begin{equation}
l' - l =\frac{l}{k \, a} \frac{F}{\rho_S \, S}
\end{equation}
e abbiamo trovato che l'allungamento
\begin{equation}
\frac{l' -l}{l} = \frac{F}{S} \frac{1}{E}
\end{equation}
dove la costante $E$ \`e data
\begin{equation}
E = k \, a \, \rho_S
\end{equation}
e viene chiamato \emph{modulo di Young}

Per rispettare le unit\`a di musura il modulo di young deve avere come
unit\`a di musura una forza su una superfice

Adesso andiamo a vedere quant'\`e la forza che agisce sulla pallina
i-esima dovuta alla parte iesima. Per ognuna stringa a destra vale
\begin{equation}
\frac{F_i}{\rho_S \, S} = (x_{i+1} - x_i -a) k = \xi_{i+1} - \xi_i
\end{equation}
e la forza ad una determinata altezza vale
\begin{equation}
F(x,t) = \rho_S \, S \, k (\xi_{i+1} - \xi_i) = 
a\, \rho_S \, S \, k \frac{\partial \xi}{\partial x }\left( 1 + \Theta(a)
\right)
\end{equation}
e allora la forza dovuta alla parte di destra vale
\begin{equation}
F(x,t) = E \, S  \frac{\partial \xi(x,t)}{\partial x }
\end{equation}

